\subsection{同位旋空间旋转对称性和同位旋守恒}

原子核物理所涉及的核力是一种强相互作用,它大体与电荷(是质子还是中子)无关,
这是一个虽然并不十分精确但却是普遍成立的实验事实.据此,核理论中从强作用观点出发,不计电磁和弱作用,
常将质子和中子考虑成同一个粒子(称为核子)的两个不同状态.于是,一个核子的波函数可以记成

\begin{equation*}
    \varphi(r)=\binom{\varphi_1(r)}{\varphi_2(r)}
\end{equation*}

这样,质子和中子的波函数便分别成为

\begin{equation*}
    \varphi_{\mathrm{p}}(\boldsymbol{r})=\binom{\varphi_1(\boldsymbol{r})}{0}, \quad \varphi_{\mathrm{n}}(\boldsymbol{r})=\binom{0}{\varphi_2(\boldsymbol{r})}
\end{equation*}

取如下三个$2\times2$矩阵$\tau_i$作为同位旋算符:

\begin{equation*}
    \tau_1=\left(\begin{array}{ll}
        0 & 1 \\
        1 & 0
    \end{array}\right), \quad \tau_2=\left(\begin{array}{cc}
        0          & -\mathrm{i} \\
        \mathrm{i} & 0
    \end{array}\right), \quad \tau_3=\left(\begin{array}{cc}
        1 & 0  \\
        0 & -1
    \end{array}\right)
\end{equation*}
于是,在这些算符作用下,产生如下变换:

\begin{equation*}
    \left\{\begin{array}{l}
        \tau_1\varphi_{\mathrm{p}}=\varphi_{\mathrm{n}} \\
        \tau_1\varphi_{\mathrm{n}}=\varphi_{\mathrm{p}}
    \end{array},\left\{\begin{array}{c}
        \tau_2\varphi_{\mathrm{p}}=\mathrm{i} \varphi_{\mathrm{p}} \\
        \tau_2\varphi_{\mathrm{n}}=-\mathrm{i} \varphi_{\mathrm{p}}
    \end{array},\left\{\begin{array}{r}
        \tau_3\varphi_{\mathrm{p}}=\varphi_{\mathrm{p}} \\
        \tau_3\varphi_{\mathrm{n}}=-\varphi_{\mathrm{n}}
    \end{array}\right.\right.\right.
\end{equation*}

于不考虑核子间电弱相互作用,只考虑核子间的强相互作用,根据核力与电荷无关,在上述这些变换下核子体系的能级将相同,
构成了能级的简并.这时,由同位旋算符$\tau_i$组成的矢量算符

\begin{equation*}
    \Theta=\frac{1}{2} \tau
\end{equation*}

是守恒量,称为核子的同位旋.而质子和中子只是核子的(同位旋第三分量不同的)两个状态.
就是说,出现了同位旋两重态的简并.附带指出,由同位旋第三分量$\Theta_3$可以组成所谓"电荷算符" $Q$ :

\begin{equation*}
    Q=e\left(\Theta_3+\frac{1}{2}\right)=\frac{e}{2}\left(\tau_3+1\right)=e\left(\begin{array}{ll}
            1 & 0 \\
            0 & 0
        \end{array}\right)
\end{equation*}

显然

\begin{equation*}
    Q \varphi_{\mathrm{p}}=\varphi_{\mathrm{p}}, Q \varphi_{\mathrm{n}}=0
\end{equation*}

\subsection{全同粒子置换对称性与全同性原理}

由于微观粒子具有波动性,两个或多个全同的微观粒子存在置换对称性,实验中表现出特有的交换效应.
这种置换对称性陈述为微观粒子全同性原理.此原理不仅是非相对论量子力学的第五公设,实际上贯穿并适用于全部量子理论.

第一,全同性原理及其内涵.
\begin{definition}[][全同粒子]
    \textbf{Identical particles}\quad 如果两个微观粒子的全部内禀属性
    (质量、电荷、自旋、同位旋、内部结构及其他内亶性质)都相同,就称它们为两个全同粒子.
\end{definition}

\begin{note}
    例如,所有的电子是全同粒子,所有的正电子也是全同粒子,但电子和正电子就不是.
    对于内部结构相同而仅内部激发状态不同的复合粒子(比如,处于基态和激发态的氢原子),有些情况下不应看作是全同粒子.
\end{note}
显然,两个全同粒子可以处在不同的量子态上:可以有不同的空间波函数、不同的能级、不同的自旋取向等.
全部量子力学实验表明:如果让两个全同粒子处于相同的物理条件下,它们将有完全相同的实验表现,
从原理上看将无法区分它们谁是谁.简单地说,微观粒子全同性原理便是全同粒子的无法分辨性.详细些说,原理主张:

体系中的全同粒子因实验表现相同而在物理上无法分辨.就是说,如果设想交换体系中任意两个全同粒子所处的状态和地位,
将不会表现出任何可以观察的物理效应.

原理涉及两个密切相关但并不相同的概念：全同性——就粒子本身而论,分辨性——就对它们实验观测而论.
这里强调"原理上",意思是说永远的、非技术性的.下面具体分析并理解原理的4点核心内容：
\begin{enumerate}
    \item 全同性原理的4点核心内容：
          \begin{enumerate}
              \item 全同粒子不可分辨性
              \item 全同粒子不可分辨性产生的后果
              \item 全同粒子不可分辨性的理解
              \item 全同粒子从微观世界原则上不可分辨到宏观世界原则上可分辨的过渡
          \end{enumerate}
\end{enumerate}
全同粒子体系中各粒子的编号都是以外来方式人为强加的,既然按全同性原理各个全同粒子在"原理上"彼此不能分辨,
那么它们之间任何编号顺序的改变都不应当导致可观察的物理效应.
就是说,任何实验观测结果都必须对编号的置换为对称的!量子体系的可观测量分为两类:力学量的数值以及概率.

\begin{corollary}
    全同粒子体系的力学量算符(包括体系Hamilton量),以及体系所有可观察概率,
    对于任何一对粒子编号置换都必须为对称的.
\end{corollary}
这正是上面强调的"原理上不可分辨"这一论断的深刻含义和严重结果.也说明全同性原理正是全同粒子置换对称性的物理概括.

现在来考察观测概率的对称性.所有观测概率都是对称的,这说明体系总波函数的模平方必须是对称函数,
所以总波函数对于任何一对粒子编号的置换,只能改变一个相因子.
引入第$j$和第$k$两个粒子的置换算符$\hat{P}_{j k}$,于是应当有
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        \hat{P}_{j k} \psi\left(\boldsymbol{r}_1, \cdots, \boldsymbol{r}_j, \cdots, \boldsymbol{r}_k, \cdots, \boldsymbol{r}_n\right) & =\psi\left(\boldsymbol{r}_1, \cdots, \boldsymbol{r}_k, \cdots, \boldsymbol{r}_j, \cdots, \boldsymbol{r}_n\right)                                  \\
                                                                                                                                      & =\mathrm{e}^{\mathrm{i} \delta_n} \psi\left(\boldsymbol{r}_1, \cdots, \boldsymbol{r}_j, \cdots, \boldsymbol{r}_k, \cdots, \boldsymbol{r}_n\right)
    \end{aligned}
\end{equation*}

接着用$\hat{P}_{j k}$的逆算符$\hat{P}_{k j}$作用,两边的$\psi$将还原,
但净多出一个相因子$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \delta_\nu+i \delta_\mu}$.
根据全性原理,实际上置换算符$\hat{P}_{j k}$应当与脚标无关,
可以简单写为$\hat{P}$,相应有$\delta_{j k}=\delta_{k j}=\delta$.
由于两次置换已使编号顺序还原,所以

\begin{equation*}
    \hat{P}^2=I
\end{equation*}


于是$\exp \{2\mathrm{i} \delta\}=1$,即$\exp \{\mathrm{i} \delta\}= \pm1$.这说明,为保证全部观测概率是对称的,全同粒子体系所有可能状态的总波函数必须相对于任意两粒子置换为全对称的或是全反对称的，

\begin{equation*}
    \psi\left(\boldsymbol{r}_1, \cdots, \boldsymbol{r}_j, \cdots, \boldsymbol{r}_k, \cdots, \boldsymbol{r}_N\right)= \pm \psi\left(\boldsymbol{r}_1, \cdots, \boldsymbol{r}_k, \cdots, \boldsymbol{r}_j, \cdots, \boldsymbol{r}_N\right) \quad(\forall j, k)
\end{equation*}


总之,从全同性原理可以得到关于全同粒子体系的如下两条重要结论:
\begin{itemize}
    \item 体系全部可观察量算符对于粒子间置换完全对称;
    \item 体系所有可能的总波函数对于粒子间置换要么全对称，要么全反对称，不存在其他类型的状态.
\end{itemize}
即有

\begin{equation*}
    \hat{P} \hat{\Omega} \hat{P}=\hat{\Omega}, \quad \hat{P} \Psi= \pm \Psi
\end{equation*}


究竟什么粒子的全同粒子体系用全对称波函数，什么粒子的全同粒子体系用全反对称波函数呢？

证明了\begin{theorem}[][Pauli定理]
    \textbf{Pauli's theorem}\quad （光子、 $\pi$介子、気核、 $\alpha$粒子等）
    具有整数自旋粒子必须服从对易规则，
    它们所组成的全同粒子体系的总波函数对于粒子间置换必是对称的,
    体系遵从Bose-Einstein统计,这些粒子统称为Boson;
    (电子、中子、质子、気核等)具有半整数自旋粒子必须服从反对易规则,
    它们所组成的全同粒子体系的总波函数对于粒子间置换必是反对称的,
    体系遵从Fermi-Dirac统计,这些粒子统称为Fermion.
\end{theorem}
\begin{note}
    Pauli曾经依据Lorentz变换和定域因果性原理
\end{note}

\begin{theorem}[][Pauli不相容原理]
    \textbf{Pauli exclusion principle}\quad 组成一个体系的两个全同Fermion不能处于相同的状态上.
\end{theorem}
\begin{note}
    因为这样一来,反称化将使体系的总波函数为零
\end{note}
.全同性原理是自然界的普遍规律,但主要应用于微观世界,体现为一种纯量子效应一一交换效应.
这是一种由于波函数对称化或反称化所造成的可观察的物理效应(见下面例子).
经典力学中原则上不存在(完全相同的)全同粒子.并且,由于宏观粒子的de Broglie波波长极短,
即便存在"全同"的宏观粒子,原理上也可以对它们进行分辨和追踪，交换效应无法显现。
但在量子力学中，两个全同粒子——如两个电子的情况完全不同.电子具有波粒二象性,特别是它的波动性,
导致不确定性关系,使得轨道概念失效,如果这时没有别的守恒量子数可供区别,
则波包的重叠将造成原理上无法分辨的测量结果:无法知晓测量坍缩中所得粒子谁是谁.
并且重叠区域越大，以后时刻也越不容易分辨和追踪它们。设想在某个时刻对两个相邻的全同粒子进行测量定位、鉴别编号,
但在无限接近的后来时刻,它们的坐标还是不再具有确定值.就是说,由于不确定性关系和轨道概念的失效,
由于de Broglie波波包演化中的重叠,某个时刻的定位对追踪并无帮助.这些说明,微观世界里的全同粒子,
一旦它们波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别,波动性将肯定使它们失去"个性"和"可分辨性",出现交换效应.


关于全同性原理应用的例子,除了全同粒子散射(见$\S10.4$ )外,下面再举一些.

\subsubsection*{两个全同Fermion}
两个电子,假设原先电子1处于$\varphi_1\left(x_1, s_{z1}\right)$态,
简记作$\varphi_1(1)$,电子2处于$\varphi_2\left(x_2, s_{z2}\right)$态,
记作$\varphi_2(2)$.由于某种物理原因彼此关联起来,组成一个体系.
假如它们之间没有相互作用或是相互作用较弱,作为零级近似,
体系总波函数可以取作两阶Slater行列式—两个单电子态的反称化的形式

\begin{equation*}
    \Phi(1;2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{ll}
        \varphi_1(1), & \varphi_1(2) \\
        \varphi_2(1), & \varphi_2(2)
    \end{array}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\varphi_1(1) \varphi_2(2)-\varphi_2(1) \varphi_1(2)\right\}
\end{equation*}


右边第二项是依据全同性原理,通过反称化得出来的交换项.交换项的存在将会影响力学量平均值和概率的计算.
比如,概率密度分布成为
\begin{equation*}
    |\Phi(1,2)|^2=\frac{1}{2}\left\{\left|\varphi_1(1)\right|^2\cdot\left|\varphi_2(2)\right|^2+\left|\varphi_2(1)\right|^2\cdot\left|\varphi_1(2)\right|^2-2\operatorname{Re}\left[\varphi_1(1) \varphi_2^*(1) \cdot \varphi_2(2) \varphi_1^*(2)\right]\right\}
\end{equation*}


可以看出,当两个波函数的空间分布不重叠,即函数$\varphi_1$的定义区域$A$和函数$\varphi_2$的定义区域$B$
之间没有交集时,右边取实部的第三项（两个乘积积分）实际上等于零;
若交集很小,这项数值也很小.这时有和没有反称化结果是(或基本是)一样的.
于是交换效应消失,两个全同电子在原理上便可以(用区域$A$和$B$ )分辨.
然而,即便两个波函数空间分布有重叠,但如果两个电子各自自旋$s_z$取值不同并且在演化中守恒,
由于波函数自旋部分的正交性,这个实部在概率计算中仍不起作用.
说明此时在原理上可以根据它们$s_{z i}(i=1,2)$的取向来分辨它们.
推广开来,结合末态测量,如果测量的物理量与$\sigma_z^i$对易,
就是说最后观测方案——也就是测量末态是朝向$\sigma_z^i$本征态的圾缩,
两个电子仍然可以根据$s_{z i}$的取向来分辨.这时是否有反称化实际效
果相同.但若末态测量的量与$\sigma_z^i$不对易,相应分解时有关交换项就不会消失,存在交换效应.
换句话说,这时两个电子在这种测量中还是不可分辨.所以普遍地说,即便过程中两粒子有取值不同并且守恒的量子数作为标记,
这时两粒子究竟是否可分辨,最终还要看如何进行测量和坍缩,即选择何种末态.

附带指出, 并不是构造全反对称总波函数的惟一选择.它只是当电子之间相互作用比较弱时的零级近似.
假如电子之间的相互作用不是很弱,体系总波函数
$\Phi\left(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2; s_{z1}, s_{z2}\right)$不再能用上面近似,
但选取另外的反称化形式并不影响这里的分析.对于多个全同Fermion体系,零级近似波函数是推广—— $n$阶的Slater行列式.

\subsubsection*{全同的复合粒子的例子}
考虑两个相同的总角动量为$J$的原子核,各自有$N_{\mathrm{n}}$个中子和$N_{\mathrm{p}}$个质子,
构成一个双原子核体系.显然,体系总波函数
$\Phi\left(\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2; J_{z1}, J_{z2}\right)$
关于中子间置换和质子间置换分别都是反对称的.令$\hat{P}_{\mathrm{n}}$为置换两个中子的置换算符,
$\hat{P}_{\mathrm{p}}$类似,原子核的质子和中子总和为核子数$N=N_{\mathrm{n}}+N_{\mathrm{p}}$.
由此可知,将两个原子核互换的置换算符为

\begin{equation*}
    \hat{P}=\left(\hat{P}_{\mathrm{n}}\right)^{N_{\mathrm{n}}}\left(\hat{P}_{\mathrm{p}}\right)^{N_{\mathrm{p}}}
\end{equation*}

$\hat{P}^2=I, \hat{P}$的本征值为$\pm1$.于是有

\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        \Phi\left(\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2; J_{z2}, J_{z1}\right) & =\left(\hat{P}_n\right)^{N_n}\left(\hat{P}_p\right)^{N_0} \Phi\left(\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2; J_{z1}, J_{z2}\right) \\
                                                                            & =(-1)^N \Phi\left(\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2; J_{z1}, J_{z2}\right)
    \end{aligned}
\end{equation*}

由此可得结论:原子核的核子数$N$为偶数时,此原子核作为一个整体是Boson;
当核子数$N$为奇数时,此原子核是Fermion.考虑大量相同原子核所组成的全同多粒子体系,
将能说明低温下液$\mathrm{He}^4$和$\mathrm{He}^3$的量子特性为何完全不同:
$\mathrm{He}^4$粒子服从Bose-Einstein统计,而$\mathrm{He}^3$服从Fermi-Dirac统计.
$\mathrm{He}^3$超流体是两个$\mathrm{He}^3$粒子自旋平行配对的结果.
对的自旋为1是三重态,对的轨道部分则处于$p$态.这时因为,两个$\mathrm{He}^3$交换时出负号,
而这种交换其实等价于两个$\mathrm{He}^3$的空间反演,出宇称负号$(-1)^t=-1$.
注意$\mathrm{He}^3$的统计性质与磁矩均来自原子核,但却对超流的性质起了决定性的作用.
同时,也可以向含有多种Fermion的复合粒子情况推广.
说明(所含Boson数目不计)含有奇数个Fermion的复合粒子体系与含偶数个Fermion的复合粒子体系之间有着根本的差别,
任何相互作用都不能使两者相互跃迁.这称为超级选择定则.

\subsubsection*{全同Boson一光子分束器}
如\figref{fig:BeamSplitterDiagram20240819221845}
所示,有一块半透镜,水平极化光子1从左上方$a$入射,透镜将其相干分解,反射向$c$,同时透射向$d$;
垂直极化光子2从左下方$b$入射,相干分解后反射向$d$,透射向$c$.由$a$入射的称为$a$空间模,
向$c$出射的称为$c$空间模等.此时两个光子的输入态为
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/BeamSplitterDiagram20240819221845.jpg}
    \caption{分束器示意图\label{fig:BeamSplitterDiagram20240819221845}}
\end{figure}
\begin{equation*}
    \left|\psi_i\right\rangle_{12}=|\leftrightarrow\rangle_1\otimes|a\rangle_1\cdot|\uparrow\rangle_2\otimes|b\rangle_2
\end{equation*}


这里水平和垂直箭头分别表示光子的两种极化方向,相应的两种极化状态彼此正交.经过分束器之后,
反射束应附加$\frac{\pi}{2}$相位跃变而透射束则无相位跃变;同时,分束器不改变入射光子的极
化状态,所以出射态为

\begin{equation*}
    \left|\psi_f\right\rangle_{12}=|\leftrightarrow\rangle_1\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\mathrm{i}|c\rangle_1+|d\rangle_1\right) \cdot|\uparrow\rangle_2\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|c\rangle_2+\mathrm{i}|d\rangle_2\right)
\end{equation*}


如果两个光子同时到达分束器,在出射态中光子的空间模有重叠,必须考虑两个光子按全同性原理所产生的交换干涉.
这时出射态应该是交换对称的,所以正确的出射态应为

\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        \left|\psi_f\right\rangle & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|\psi_f\right\rangle_{12}+\left|\psi_f\right\rangle_{21}\right)                                                                                                                              \\
                                  & =\frac{1}{2}\left\{\mathrm{i}\left|\psi^{+}\right\rangle_{12}\left(|c\rangle_1|c\rangle_2+|d\rangle_1|d\rangle_2\right)+\left|\psi^{-}\right\rangle_{12}\left(|d\rangle_1|c\rangle_2-|c\rangle_1|d\rangle_2\right)\right\}
    \end{aligned}
\end{equation*}

这里
$\left|\psi^{ \pm}\right\rangle$是四个正交归一Bell基中的两个.注意出射态中第二项的空间模不同于第一项.
为了探测这个模,可在分束器出射方向$c$和$d$两处分别放置两个探测器,对两处单光子计数进行符合测量.
这种实验安排会有$\frac{1}{2}$的探测概率( $\left|\psi_f\right\rangle$向第二项坍缩的概率).
于是便有$\frac{1}{2}$概率得到双光子极化纠缠态$\left|\psi^{-}\right\rangle_{12}$,

\begin{equation*}
    \left|\psi^{-}\right\rangle_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{|\downarrow\rangle_1|\leftrightarrow\rangle_2-|\leftrightarrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2\right\}
\end{equation*}

这样一来,尽管两个光子之间(以及分束器中)并不存在可以令光子极化状态发生改变的相互作用,
但全同性原理交换作用和末态符合测量造成相应的坍缩,使两个光子的极化矢量不再守恒.
于是,尽管看来并不存在改变入射光子极化状态的相互作用,但由于末态这种符合测量实验,
现在两个光子的极化状态已经不可分辨.说明这种符合测量坍缩所选择的末态和光子极化本征态是不兼容的.
设想换另外一种对末态测量实验:采用极化灵敏的探测器测量出射光子的极化本征态.
则由于分束器过程和测量过程中极化矢量一直守恒,在这种测量实验中两个光子就可以用它们
的极化状态来分辨，就不存在交换效应，这个例子再一次说明，出射的两个光子究
竟可否分辨，还要看如何测量——对末态如何选择.


原则上对任何全同粒子体系都应当作对称（反对称）化，但常由于各种原因，
交换效应不存在或不显著，而不必进行对称（反称）化，于是判断交换效应何时存
在何时不存在，对澄清物理概念和简化计算都很重要，特别是当末态测量方案复杂
多变时尤需如此.

下面对原理的应用再作一些补充分析。为讨论方便，先暂分为三种情况。
\begin{enumerate}
    \item 两个全同粒子的空间波函数在演化中从不重叠，（如无历史因素）这时两个全同粒子
          原理上可以区分，不存在交换效应，有否对称化（或反称化）结果一样，
    \item 不
          论在重叠区内（分束器情况）或走出重叠区之后（全同粒子散射情况），即便全同粒
          子原先处于不同的量子态或不同的内能状态，如果在过程中没有守恒且相异量子数
          可资鉴别，就无法分辨它们谁是谁，如果在过程中有守恒且相异量子数可资鉴别，
          也要看最后如何观测：
          \begin{itemize}
              \item 如果观测过程所测力学量与守恒量子数的力学量对易，测
                    量不干抚这些量子数守恒，最终就可以用这些量子数来鉴别，例如，除上面关于电
                    子自旋的守恒分析之外，内部激发能级不同的复合粒子，若过程的相互作用和最后
                    的观测都不影响复合粒子的内部状态，就可以用它们内能状态的不同来区分它们。再
                    例如，光子分束器中，如果实验观测方案不是符合测量而是观测光子的极化状态，
                    观测中两个光子的极化取值将全不受干扰，就可以用两个光子的极化取值来区分它
                    们
              \item 如果测量过程所测力学量与守恒量子数的力学量不对易，这一类末态测量将
                    破坏这个量子数的守恒（经相干分解后再缩），已不能用这个量子数作为鉴别，经
                    测量之后两个粒子已不可区分，表现出应有的交换效应。这在光子分束器的极化（和
                    第十章电子散射的自旋观测）实验中都已说明了，也可以换一种说法，如果它们内
                    票量子数都相同，或是其中有些原先不同但经过相互作用已不再守恒（也许总量还
                    守恒），或是在相互作用中虽然守恒但由于最后实验观测的干扰而不守恒，则不论在
                    重叠区内还是走出重叠区之后，都不能区分它们谁是谁，内部状态不同的复合粒子，
                    如果在散射中或是在测量时有牵连到内能的相互作用，就必须当全同粒子看待，否
                    则不必当全同粒子看待，
          \end{itemize}
    \item 演化出了重叠区之后经某种实验安排再次相遇，这
          时发生干涉的充要条件依然是它们具有不可分辨性，也就是它们经过路径和内部状
          态都不再能够区分，
\end{enumerate}

总而言之，如果不考虑空间波函数从不重叠这个平庙情况，（无论在重叠区内
和走出重叠区外）可以分辨两个全同粒子的充要条件是：全过程中一直存在着某种
不变的东西可用于区分和标记，特别是这种不变的东西不被最后的实验观测所干
扰，否则原理上无法分辨它们谁是谁，由于全同性原理，不可分辨性必定导致交换
作用的干涉效应：而一旦具有了可分辩性，交换作用就将消失，这里提法从计算角
度来看更为简单明确:全同性原理的干涉效应是否存在,完全决定于作末态分解之后那些交换矩阵元是否为零

$\text{交换矩阵元}\propto\langle f|\Omega| i\rangle$
它们不仅与初态$|i\rangle$有关，与相互作用$\Omega(1,2, \cdots)$有关，
还与向之投影的测量末态$|f\rangle$有关.而$|f\rangle$则与想要观测的内容一一测量方案有关.
只当两粒子存在某种取值不同的量子数或特征,这种量子数或特征所相应的力学量能从$|i\rangle$态穿过$\Omega$到
$|f\rangle$态的全过程保持守恒情况下，交换矩阵元才为零，交换效应才消失.
与此同时，两个粒子当然也已经可以分辨.反过来说也如此.这些论述在上面例子以及全同粒子散射中均可以得到佐证。

如果为叙述简单而不考虑有内禀量子数可供区分的情况，仅就空间波函数这一种角度来说，
依照空间波函数有完全重叠(或基本重叠)、部分重叠、不重叠等各种情况，自然界已包容了从微观粒子的"原则上不能区分"，
到宏观粒子的"原则上能够区分"这两个相互排斥的论断,纳入了自己的统一体.
或者说,微观世界的前者包容了宏观世界的后者作为自己的特例.
但如果将这个简单化的结论绝对化并陈述为"粒子的不可分辨性密切关联于粒子的非定域化"就粗糙了.
因为上面分析已表明：(1)即便这种非定域化是过去的事,现在粒子之间已经很好地定域化,
以致可认为它们是彼此分离的(如全同粒子散射后),未见得就一定可以分辨:
(2)即便两个粒子的波包如此好地重叠,以致可认为是很好非定域化的,
但如果从给定的初态一直到(依赖于测量方案的)末态存在守恒量子数,则仍然可以区分.

最后再指出两点：第一，不同种类微观粒子之间不存在干涉，因为不同种类微观粒子的波函数是不能相加减的.
第二, Dirac的提法: "每个光子只与它自己发生干涉,从来不会出现两个不同光子之间的干涉并不全面.
全同性原理就主张,两个或多个全同粒子之间也能发生干涉.
原理主张,一旦它们由于直接或间接相互作用而发生量子纠缠,或是空间波包因演化而发生重叠,
使总波函数对称化或反称化,加之在包括观测过程在内的全过程中不存在可分辨的某种东西,
这种对称化或反称化就会在这类观测中表现出来,导致交换作用的干涉效应.这就是根源于全同性原理的全同粒子之间的干涉效应.
例如,在全同粒子散射中,这一原理便导致这种特有的干涉效应.通常情况下,两个自旋指向相同的中子很不容易产生干涉,
除了它们之间不确定的相位差之外,是由于它们的de Broglie波波长很短,加之中子束的单色性难以做得很好,
以致它们空间波包十分狭窄,难于"相遇"重叠.如果将（前进方向相同、横断面内波包有交叠的）两个中子的动量很好地单色化,
这就展宽了它们在行进方向上的波包尺度,增加了它们空间相干长度,使波
包比较容易发生空间重叠,理论上应当能够让两个中子发生相干叠加.这一思想首先在中子干涉量度学实验中实现.
后来又用于光子情况,形成多光子符合技术,
完成了著名的Teleportation实验和Swapping实验。

全同性原理的物理根源是微观粒子的波粒二象性,特别是,它和微观粒子波动性有深刻的内在联系.
微观粒子的波动性,反映在单个粒子上就表现为(一对正则共轭量之间的）不确定性关系；
反映在全同粒子间的关系上就是全同性原理，就是全同性原理所主张的全对称或全反对称的量子纠缠.

全同性原理的交换效应是否存在,集中表现为交换矩阵元是否为零.
这取决于从"制备初态一相互作用一坍缩末态"全过程中是否始终存在守恒量子数（或不变的东西)可用于区分和标记这些粒子.
特别是,这种不变的东西不被最后实验观测末态分解所破坏.
单就空间波函数分布而论,波动性越明显,波函数空间延展越大,来源于量子纠缠的交换效应越显著;
粒子性越明显,波函数空间延展越小,这种交换效应越小。

正因为原理深深植根于微观粒子的内禀属性,它对全部量子理论都是正确的.
也正因为全同性原理和微观粒子内禀属性紧密关联,所以不少人认为它不能算是一个独立的原理,
而只是量子力学基本观念的一个推论.